Všechny elektrické obvody se dělí na lineární a nelineární.
Prvky obvodu, jejichž charakteristiky proud-napětí, weber-ampér nebo coulomb-napětí jsou přímky (Obrázek 2 b), se nazývají lineární. Prvky obvodu s charakteristikami proud-napětí, weber-ampér nebo coulomb-napětí, které nejsou rovné (Obrázek 2 c), se nazývají nelineární. Elektrický obvod se nazývá lineární, pokud se skládá z prvků, ve kterých je vztah mezi proudem a napětím, vazbou proudu a toku, nábojem a napětím lineární. Jinak se elektrický obvod nazývá nelineární. V důsledku toho jsou v lineárním elektrickém obvodu všechny prvky lineární a elektrický obvod obsahující alespoň jeden nelineární prvek se nazývá nelineární. Pro lineární elektrické obvody jsou Kirchhoffovy zákony zapsány ve formě soustavy lineárních rovnic, jejichž řešení určuje provozní režim elektrického obvodu. V lineárních elektrických obvodech platí princip superpozice. Nelineární elektrické obvody se počítají pomocí grafických nebo numerických metod s využitím aproximace a interpolace funkcí.
Za lineární prvky budeme považovat rezistory, kondenzátory a indukčnosti, pro které je vztah mezi napětím na prvku a proudem, který jím protéká, popsán lineární (algebraickou nebo diferenciální) rovnicí:
kde tyR – napětí na rezistoru, tznR – proud jím protéká, R – odpor rezistoru, Uc – napětí na kondenzátoru, – náboj na kondenzátoru, C – kapacita kondenzátoru, UL – indukční napětí, diL/dt je rychlost změny proudu na něm, L je indukčnost cívky.
Přísně vzato, všechny reálné prvky jsou nelineární, nicméně v mnoha případech je odchylka od linearity tak malá, že ji lze zanedbat a prvky lze považovat za lineární.
4.6 Kvazistacionární procesy. RC a RL obvody
V obvodech stejnosměrného proudu je rozložení elektrických nábojů na vodičích a proudů v úsecích obvodu stacionární, to znamená, že se v čase nemění. Elektromagnetické pole v takových obvodech sestává z elektrostatického pole stacionárních nábojů a magnetického pole stejnosměrných proudů. Tato pole existují nezávisle na sobě.
Pokud v některé části obvodu nastanou změny proudu nebo napětí, pak ostatní části obvodu tyto změny „pocítí“ až po nějaké době, která se řádově rovná době τ šíření elektromagnetického rušení z jednoho bodu. v okruhu do jiného. Protože se elektromagnetické rušení šíří konečnou rychlostí rovnou rychlosti světla c, pak , kde l – vzdálenost mezi nejvzdálenějšími body řetězu. Pokud je tato doba τ mnohem kratší než doba trvání procesů probíhajících v obvodu, pak můžeme předpokládat, že v každém časovém okamžiku je síla proudu stejná ve všech sériově zapojených sekcích obvodu. Procesy tohoto druhu v elektrických obvodech, stejně jako obvody samotné, se nazývají kvazistacionární.
Pokud se změní velikost proudu v elektrickém obvodu (EMF), způsobí to odpovídající změnu proudu a napětí v různých částech obvodu. Ke změně elektrického stavu obvodu však nedochází okamžitě, ale po určitou dobu. Proto se rozlišuje přechodový (nestacionární) a ustálený (stacionární) stav obvodu.
V budoucnu budeme také předpokládat, že okamžité hodnoty proudu jsou téměř identické ve všech částech elektrického obvodu. Tento stav se nazývá kvazistacionarita. Pokud je délka elektrického obvodu l , pak se elektromagnetické rušení šíří obvodem v čase l/c (kde c = 310 8 m/s je rychlost šíření).Kvazistacionární podmínka tedy bude splněna, pokud , kde T je charakteristický čas změny elektrického kmitání v obvodu (například perioda oscilace).
Kvazistacionární procesy lze studovat pomocí zákonů stejnosměrného proudu, pokud jsou tyto zákony aplikovány na okamžité hodnoty proudů a napětí v úsecích obvodu.
Vzhledem k obrovské hodnotě rychlosti světla se čas potřebný k ustavení elektrické rovnováhy v obvodu ukazuje jako velmi krátký. Proto mnoho procesů, které jsou v obvyklém smyslu poměrně rychlé, lze klasifikovat jako kvazistacionární. Například rychlé oscilace v rádiových okruzích s frekvencemi v řádu milionů kmitů za sekundu a ještě vyššími lze velmi často stále považovat za kvazistacionární.
Jednoduchými příklady kvazistacionárních procesů mohou být procesy probíhající v RC a RL obvodech, když je připojen a odpojen stejnosměrný zdroj.
Na obrázek 8 znázorňuje elektrický obvod skládající se z kondenzátoru s kapacitou C, rezistoru s odporem R a zdroje proudu s emf rovným ε.
Obvody pro nabíjení a vybíjení kondenzátoru přes rezistor
Pokud zavřete klíč K do polohy 1, začne proces nabíjení kondenzátoru přes odpor. Pro kvazistacionární obvod můžeme podle Kirchhoffova zákona napsat:
RJ + U =ε, (18)
kde J je okamžitá hodnota proudu v obvodu, U je okamžitá hodnota napětí na kondenzátoru. Proud J v obvodu je roven změně náboje q kondenzátoru za jednotku času: Napětí U na kondenzátoru je v každém okamžiku rovno q / C. Z těchto vztahů vyplývá
Získali jsme diferenciální rovnici popisující proces nabíjení kondenzátoru. Pokud kondenzátor nebyl původně nabitý, pak řešení této rovnice má tvar
kde τ = RC je tzv. časová konstanta obvodu sestávajícího z rezistoru a kondenzátoru. Hodnota τ je charakteristikou rychlosti procesu. Jako t → ∞, U (t) → ε. Proces nabíjení kondenzátoru přes rezistor je znázorněn v Obrázek 9 (Já).
Nabíjení (I) a vybíjení (II) kondenzátoru přes odpor
Pokud se po úplném nabití kondenzátoru na napětí ε posune tlačítko K do polohy 2, začne proces vybíjení. Ve vybíjecím obvodu není žádný externí zdroj proudu (ε= 0). Proces vybíjení je popsán výrazem
Závislost U(t) během procesu vybíjení je znázorněna na Obrázek 9 (II). Při t = τ se napětí na kondenzátoru sníží o e ≈ 2,7krát.
Obdobně se děje v obvodu obsahujícím cívku s indukčností L a rezistor s odporem R (Obrázek 10).
Obvod obsahující cívku s indukčností L, rezistor s odporem R a zdroj proudu s emf rovným ε
Pokud je v obvodu znázorněném na Obrázek 10, spínač K byl nejprve sepnut a poté náhle otevřen, poté začne proces současného ustavení. Tento proces je popsán rovnicí
Tato rovnice se ve tvaru shoduje s rovnicí popisující nabíjení kondenzátoru, pouze nyní je proměnnou hodnotou proud J. Řešení této rovnice má tvar
kde časová konstanta τ = L / R. Obdobným způsobem můžeme získat zákon poklesu proudu v obvodu RL po zavření klíče K:
Je třeba poznamenat, že procesy v RC a RL obvodech jsou podobné mechanickým procesům, když se těleso pohybuje ve viskózní tekutině.
Nelineárními elektrickými obvody se rozumí elektrické obvody obsahující prvky s nelineárními voltampérovými, Weberovými nebo coulombovými napěťovými charakteristikami. Pokud obvod obsahuje alespoň jeden takový prvek a zobrazený bod se během provozu pohybuje po výrazně nelineární části charakteristiky tohoto prvku, pak patří do třídy uvažovaných obvodů.
Pokud v obvodu není jediný prvek s nelineární charakteristikou, pak je takový obvod lineární.
napětí na svorkách 1-2 zdroje I a ampérmetr A je z něj odebíraný proud I, jehož hodnotu lze měnit pomocí proměnného zatěžovacího odporu (reostatu) RН.
V obecném případě je proudově-napěťová charakteristika zdroje nelineární (křivka 1 na obr. 4b). Má dva charakteristické body, které odpovídají:
a – klidový režim ;
b – zkratový režim .
5.2. Metody výpočtu nelineárních obvodů
Elektrický stav nelineárních obvodů je popsán na základě Kirchhoffových zákonů, které mají obecný charakter. To je třeba mít na paměti Pro nelineární obvody princip superpozice neplatí. V tomto ohledu výpočtové metody vyvinuté pro lineární obvody založené na Kirchhoffových zákonech a principu superpozice obecně neplatí pro nelineární obvody.
Neexistují žádné obecné metody pro výpočet nelineárních obvodů. Známé techniky a metody mají různé možnosti a aplikace. V obecném případě, když analyzujeme nelineární řetězec, systém nelineárních rovnic, které jej popisují, lze vyřešit následujícími metodami:
5.2 Grafické výpočetní metody
a) Obvody se sériovým zapojením odporových prvků.
Při zapojování nelineárních rezistorů do série se jako společný argument bere proud protékající sériově zapojenými prvky. Výpočet se provádí v následujícím pořadí. Na základě daných proudově-napěťových charakteristik jednotlivých rezistorů v kartézském souřadnicovém systému je sestrojena výsledná závislost. Poté se na osu napětí položí bod, který na zvoleném měřítku odpovídá dané hodnotě napětí na vstupu obvodu, od kterého se obnoví kolmice, dokud se neprotne se závislostí. Z průsečíku kolmice s křivkou se ortogona spustí na osu proudu – výsledný bod odpovídá požadovanému proudu v obvodu, z jehož zjištěné hodnoty se pomocí závislostí určí napětí na jednotlivých odporových prvcích.
Použití této techniky je znázorněno grafickými konstrukcemi na Obr. 2, b, odpovídající obvody na Obr. 2, a.
Grafické řešení pro sériový nelineární obvod se dvěma odporovými prvky lze provést jinou metodou – průnikovou metodou. V tomto případě jeden z nelineárních rezistorů, například s charakteristikou proud-napětí na obr. 2, a, je považován za vnitřní odpor zdroje s emf E a druhý je zátěž. Potom na základě vztahu bod a (viz obr. 3) průsečíku křivek určuje provozní režim obvodu. Křivka je sestrojena odečtením abscisy charakteristiky proud-napětí od emf E pro různé hodnoty proudu.
Použití této metody je nejracionálnější při zapojování lineárních a nelineárních rezistorů do série. V tomto případě je lineární odpor brán jako vnitřní odpor zdroje a lineární charakteristika proudového napětí zdroje je vynesena ve dvou bodech.
b) Obvody s paralelním zapojením odporových prvků.
Při paralelním zapojení nelineárních rezistorů se jako společný argument bere napětí aplikované na paralelně zapojené prvky. Výpočet se provádí v následujícím pořadí. Na základě daných proudově-napěťových charakteristik jednotlivých rezistorů v kartézském souřadnicovém systému je sestrojena výsledná závislost. Poté se na ose proudu vynese bod, který na zvolené stupnici odpovídá dané hodnotě proudu zdroje na vstupu obvodu (pokud je na vstupu obvodu zdroj napětí, je problém vyřešen ihned obnovením kolmice z bodu odpovídajícího danému napětí zdroje do průsečíku s charakteristikou proud-napětí), od které se kolmice obnovuje, dokud se neprotne se závislostí. Z průsečíku kolmice s křivkou se ortogona spustí na osu napětí – výsledný bod odpovídá napětí na nelineárních rezistorech, z jejichž zjištěné hodnoty se určí proudy ve větvích s jednotlivými odporovými prvky. pomocí závislostí.
Použití této techniky je znázorněno grafickými konstrukcemi na Obr. 4, b, odpovídající obvody na Obr. 4, a.
c) Obvody se sériově paralelním (smíšeným) zapojením odporových prvků.
1. Výpočet takových obvodů se provádí v následujícím pořadí:
Původní obvod je redukován na obvod se sériovým zapojením rezistorů, pro který je zkonstruována výsledná proudově-napěťová charakteristika paralelně zapojených prvků, jak ukazuje bod b).
2. Výsledný obvod je vypočítán se sériovým zapojením odporových prvků (viz bod a), na základě kterého se pak určí proudy v původních paralelních větvích.
