Například v digitálním třímístném kombinačním zámku na kufru, kdy každá ze tří číslic může mít 10 různých čísel: 10 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 kombinací.
Předpokládejme, že jsme zapomněli kombinaci zámku, ale určitě si pamatujeme, že první číslo je 5 a druhé je 3 nebo 4, tj. první číslo může být pouze jedno číslo a druhé může být 2. Pak musíme projděte 1 ⋅ 2 ⋅ 10 = 20 kombinací k otevření zámku.
Zvažte kombinační zámek s desetimístnými tlačítky, který se obvykle používá pro vstup do vchodu. Chcete-li otevřít dveře, musíte stisknout 3 čísla v určitém pořadí. První číslice může být jakákoli z 10, druhá může být zbývajících 9, třetí může být 8. Vypočítejme počet různých kombinací: 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720.
Umístění bez opakování: ( A^k_n = frac <(n - k)!>)
Zvláštní případ umístění bez opakování, kdy n = k, je permutace: (P_n = A^n_n = n!)
Řekněme, že v zámku, jehož příklad jsme uvedli výše, musíte stisknout všech 10 čísel v určitém pořadí. V takovém hradu je 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3628800 kombinací.
Pro číslo permutace s opakováním vzorec je správný: ( P_n (n_1, n_2, …, n_k) = frac ⋅ .. ⋅ n_k!>)
Předpokládejme, že potřebujete vytočit deset číslic v kombinačním zámku, mezi nimiž lze použít pět číslic 5, čtyři číslice 4 a jednu číslici 1. Potom v takovém zámku je počet kombinací:
Pokud potřebujete v zámku stisknout pouze tři čísla současně, lze počet kombinací vypočítat pomocí vzorce kombinace: ( C^k_n = frac <(n - k)! ⋅ k!>)
V takovém zámku je (frac = frac =) 120 kombinací.
Úkol: Některá abeceda obsahuje 4 různé symboly. Kolik třípísmenných slov lze vytvořit ze znaků této abecedy, pokud se znaky ve slově mohou opakovat? Slova nemusí být smysluplná slova v ruském jazyce.
řešení: podle umisťovacího vzorce s opakováním, s n = 4, k = 3: 4 3 = 64. Odpověď: 64
Úkol: Kolik slov o délce 5 písmen, počínaje samohláskou, lze vytvořit z písmen E, G, E? Každé písmeno se může objevit ve slově několikrát. Slova nemusí být smysluplná slova v ruském jazyce.
řešení: První písmeno musí být jedno ze dvou: E a E, zbytek může být kterýkoli ze tří. 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 162. Odpověď: 162
Úkol: Vasya skládá 5písmenná slova, která obsahují pouze písmena S, L, O, N a písmeno S je v každém slově použito právě 1x. Každé z ostatních platných písmen se může objevit ve slově kolikrát nebo vůbec. Slovo je jakákoli platná posloupnost písmen, která nemusí mít nutně smysl. Kolik slov může Vasja napsat?
řešení: Nechť je písmeno C ve slově první. Potom na každé ze zbývajících 4 míst můžete umístit jedno ze 3 písmen nezávisle na sobě. To znamená, že existuje pouze 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 variant slova.
Písmeno C lze tedy umístit postupně na všech 5 míst, v každém případě dostaneme 81 možností, takže celkem 81 ⋅ 5 = 405 takových slov. Odpověď: 405
Obsah
- Problémy řešit samostatně
- Kolik kombinací 3 písmen dokážete vytvořit?
- Jak vypočítat všechny možné kombinace
- Kolik kombinací lze vytvořit z čísel 1 2 3 4
- Jak zjistit maximální počet kombinací
- Kolik kombinací se 3 čísly
- Kolik existuje 3místných čísel?
- Kolik čtyřmístných kombinací existuje?
- Kolik možných kombinací 4 čísel?
- Kolik kombinací je vzorec
- Jak vypočítat počet kombinací
Problémy řešit samostatně
Některá abeceda obsahuje 3 různé symboly. Kolik čtyřpísmenných slov lze vytvořit ze znaků této abecedy, pokud se znaky ve slově mohou opakovat?
Kolik různých sekvencí znaků o délce od jedné do čtyř existuje v třípísmenné abecedě obsahující písmena A, B, C?
Kolik slov délky 6, počínaje samohláskou, lze vytvořit z písmen E, G, E? Každé písmeno se může objevit ve slově několikrát. Slova nemusí být smysluplná slova v ruském jazyce.
Kolik slov délky 5, začínajících a končících samohláskou, lze sestavit z písmen E, G, E? Každé písmeno se může objevit ve slově několikrát. Slova nemusí být smysluplná slova v ruském jazyce.
Alexey sestavuje tabulku kódových slov pro přenos zpráv, každá zpráva má své vlastní kódové slovo. Jako kódová slova používá Alexey pětipísmenná slova, která obsahují pouze písmena E, G, E a písmeno E se objeví přesně jednou. Každé z ostatních platných písmen se může objevit v kódovém slově kolikrát nebo vůbec. Kolik různých kódových slov může Alexey použít?
Olga sestavuje tabulku kódových slov pro odesílání zpráv, každá zpráva má své kódové slovo. Jako kódová slova Olga používá 4písmenná slova, která obsahují pouze písmena A, B, C, D, X, Y, Z. V tomto případě je prvním písmenem kódového slova písmeno X, Y nebo Z, a pak se v kódovém slově neobjeví písmena X, Y a Z. Kolik různých kódových slov může Olga použít?
Nikolay tvoří 5písmenné kódy z písmen A, B, C, D, D. Každé písmeno musí být použito právě 1krát a kód nesmí začínat písmenem D. Kolik různých kódů dokáže Nikolay vytvořit?
Matvey skládá 6písmenné kódy z písmen M, A, T, B, E, Y. Každé písmeno musí být použito právě 1x a kód nemůže začínat písmenem Y a nemůže obsahovat kombinaci AE. Kolik různých kódů dokáže Matvey vytvořit?
Kolik je čtyřciferných čísel dělitelných 5, ve kterých se každá číslice může objevit pouze jednou?
Kolik existuje šesticiferných čísel dělitelných 5, ve kterých se každá číslice může objevit pouze jednou a nesousedí dvě sudé a dvě liché?
Všechna 5písmenná slova složená z písmen A, O, U jsou psána v abecedním pořadí. Zde je začátek seznamu:
Zapište si slovo, které je na 210. místě od začátku seznamu.
Péťa tvoří sedmipísmenná slova přeskupením písmen slova TRATATA. Kolik různých slov dokáže Péťa vytvořit?
(Autor: A.N. Noskin)
Zhenya tvoří slova přeskupením písmen Z, A, P, I, S, B. Kolik slov může Zhenya složit, pokud je známo, že b nemůže být první a po samohlásce?
Hippolyte skládá 6písmenná slova, která obsahují pouze písmena M, E, Ch, T, A a písmeno A je v každém slově použito alespoň 3x. Každé z ostatních platných písmen se může objevit ve slově kolikrát nebo vůbec. Slovo je jakákoli platná posloupnost písmen, která nemusí mít nutně smysl. Kolik různých slov může Hippolytus napsat?
Všechna 6písmenná slova složená z písmen A, O, I, E, U jsou psána v abecedním pořadí a číslována. Zde je začátek seznamu:
Jaké číslo je poslední slovo, které začíná a končí na písmeno O?
Sergej skládá 6písmenné kódy z písmen K, A, L, I, Y. Písmeno Y lze v kódu použít maximálně jednou a nesmí se objevit na prvním místě, na posledním místě ani vedle písmeno I. Všechna ostatní písmena se mohou objevit libovolně mnohokrát nebo se nemusí objevit vůbec. Kolik různých kódů může Sergej vytvořit?
Existují dvě možnosti pro výpočet počtu kombinací kombinačního zámku na základě počtu jeho číslic. Pokud existuje lineární vztah – například zámek kufru nebo PIN kód karty – pak je počet kombinací N=K*K*K, tedy 1000 kombinací, všechna čísla v rozsahu 1-999 a tisícina číslo 000.
Kolik kombinací 3 písmen dokážete vytvořit?
, . K dispozici je 10 kombinací tří písmen vybraných z pěti písmen. Když najdeme všechny kombinace z množiny s 5 objekty, když vezmeme 3 objekty najednou, najdeme všechny 3prvkové podmnožiny.
Jak vypočítat všechny možné kombinace
Obecný vzorec, který umožňuje zjistit počet kombinací n objektů podle k, má tvar: Ckn=n!(n−k)!⋅k!.
Kolik kombinací lze vytvořit z čísel 1 2 3 4
Takových kombinací je pouze 10. Možný počet PIN kódů je tedy 10000-10=9990.
Jak zjistit maximální počet kombinací
Vzorec pro určení počtu možných kombinací je následující: nCr = n! / R! (n-r)!
Kolik kombinací se 3 čísly
3 = 60 způsobů uspořádání čísel, tj. požadovaný počet trojciferných čísel je 60. (Zde jsou některá z těchto čísel: 243, 541, 514, 132,)
Kolik existuje 3místných čísel?
Trojciferná čísla: 100, 101, . 999. Je jich jen 900. K zápisu jednoho trojciferného čísla potřebujete 3 číslice, pro všechna trojciferná čísla – 3*900=2700 číslic.
Kolik čtyřmístných kombinací existuje?
Uvažujme, kolik kombinací 4 čísel lze vytvořit. Protože na každé ze 4 míst můžete umístit libovolné číslo z deseti, bude 10*10*10*10=10^4=10000 možných kombinací.
Kolik možných kombinací 4 čísel?
Z toho 11% tvořila kombinace 1234, 1111 – 6%, 0000 – 2%, i když sada možných kombinací pro PIN kódy se čtyřmi číslicemi – od 0 do 9 – obsahuje 10 tisíc možností.
Kolik kombinací je vzorec
Počet umístění A:
V tomto případě jsou sekvence identických prvků, ale s různým pořadím výskytu, považovány za odlišné. Počet takových kombinací se vypočítá podle vzorce: ANK = N!/(NK)!.
Jak vypočítat počet kombinací
Počet kombinací se označuje jako C nm (čti: kombinace (n) až (m)). Kombinace se vypočítají pomocí vzorce C nm = n! M! ( n − m )!.
Všichni jsme se s kombinačními zámky alespoň jednou v životě setkali a často jsme se museli zamyslet nad tím, kolik možných kombinací takové zámky mohou mít. Je to vlastně velmi jednoduchá matematická otázka.
Nejprve se podívejme na zámek, který má v kódu tři čísla. Kolik kombinací tří čísel je možných? Možná už mnozí znají odpověď, ale pro úplnost se na tuto otázku podívejme podrobněji.
Pro výpočet počtu kombinací můžeme použít vzorec I^n, kde n je počet pozic a I je počet čísel a písmen na jedné pozici. V případě našeho třímístného kombinačního zámku máme 10 možných čísel (0 až 9) a tři pozice, takže celkový počet možných kombinací by byl 10^3=1000. To znamená, že náš zámek může mít 1000 různých kombinací hesel.
Je však třeba zvážit, že například při použití dveřního zámku může být první číslice nula, takže ve skutečnosti bude počet možných hesel o něco menší – 999.
Kromě toho stojí za zmínku, že vzorec I^n funguje nejen pro čísla, ale i pro další objekty, které lze použít jako kombinace. Pokud máme například 5 písmen (B, C, D, E, F) a chceme najít všechny možné kombinace 3 písmen, můžeme použít vzorec Ckn=n!(n−k)!⋅k ! A zjistíme, že existuje celkem 10 kombinací tří písmen vybraných z pěti písmen. Když najdeme všechny kombinace z množiny s 5 objekty, když vezmeme 3 objekty najednou, najdeme všechny 3prvkové podmnožiny.
Je také zajímavé vědět, kolik možných kombinací lze vytvořit z čísel 1, 2, 3 a 4. V tomto případě bude počet možných kombinací 4^3=64. Pokud vyloučíme kombinace, které obsahují pouze jednu číslici (111, 222, 333 atd.), zbývá 60 platných kombinací.
Pokud jde o otázku, jak vypočítat všechny možné kombinace, můžeme použít vzorec Ckn=n!(n−k)!⋅k!, jak je uvedeno výše. Pokud máme například 10 objektů a chceme najít všechny možné kombinace 4 objektů, pak C10^4=210, to znamená, že existuje celkem 210 kombinací 10 objektů, vybraných 4.
A co maximální počet kombinací? Zde můžeme použít vzorec nCr = n! / R! (např.)!, který umožňuje určit počet kombinací n objektů pomocí k. Pokud máme například 6 objektů a chceme najít všechny možné kombinace 3, pak nCr=20. To znamená, že existuje celkem 20 různých kombinací 6 objektů, vybraných po 3 najednou.
Zvažovali jsme tedy několik zajímavých otázek souvisejících s počtem možných kombinací. Pochopení tohoto tématu může být užitečné nejen pro ty, kdo pracují s kombinačními zámky, ale také pro každého, koho zajímá matematika a logika.
